Forum Problème – Aventure n°1

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Fil d’Ariane du forum – Vous êtes ici :Problème - Aventure n°1Somme d'entiers consécutifs
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Somme d'entiers consécutifs

En m'égarant, au début de mes recherches, j'ai finalement résolu un autre problème : est-il possible d'écrire 2021 comme une somme d'entiers naturels consécutifs ? Si oui quelle est ou quelles sont ces sommes ? C'est plus orienté vers le lycée mais, en tous cas, les aventures commencent...

faire calculer une somme de ce type sur tableur

A1 =1  B1 =(-1)^alea.entre.bornes(0;1)*A1

tirer vers le bas jusqu'à 100

puis demander  somme(B1:B100)

quelques F9 successifs pour constater que le résultat semble toujours pair ...

Alors pour expliquer : 1+2+3+...+100=100x101/2=5050 ; c'est pair

et à chaque fois que l'on va vouloir mettre un - à la place d'un +

il faudra retirer deux fois cette valeur par rapport à 5050

hors pair - pair = pair  & ite missa est

Je m'attaque à l'occasion au même problème qui s'arrête à +98

Bruno, ta réponse m'a donné des idées pour un autre sujet et j'aime beaucoup l'utilisation du tableur !  Après pour être plus explicite, lorsque je parlais de somme d'entiers naturels consécutifs, je cherchais s'il existait des couples \((n,p) \in \mathbb{N}^{2} \) tels que : \( n + (n+1) + ... + (n+p) = 2021\)d'où l'orientation lycée.

 

 

 

On peut montrer que seules les puissances non nulles de 2 ne peuvent pas s'écrire comme une somme d'entiers naturels consécutifs.

Pour un entier N qui n'est pas une puissance de 2, peut-on déterminer facilement le nombre de décomposition en somme d'entiers naturels consécutifs possible?

Appelons \(n_d\) le nombre de décompositions.

Comme on sait que \(2N\) est le produit d'un nombre pair par un nombre impair strictement supérieur à 1, on écrit la décomposition de \(2N\) en produit de facteurs premiers en isolant les puissances de \(2\).

\(2N = 2^{\alpha}\times\prod\limits_{i=1}^{m} p_i^{a_i}\) avec \(p_i\neq 2\) pour tout \(i\)

Le nombre pair est obligatoirement de la forme \(2^{\alpha}\times m\) avec \(m \in \mathbb{N}^{*}\)  sinon l’autre serait pair.

Reste à compter le nombre de façon d'écrire \(m\) à l'aide de la décomposition en produits de facteurs premiers

On peut choisir avec \(p_1\) les puissances de \(0\) à \(a_1\) soit \(a_1+1\) choix, de même jusqu'à \(p_m\) où l'on a \(a_m+1\) choix.

Mais on a compté la décomposition qui donne \(2N\) qui ne laisse que \(1\) pour le nombre impair ce qui n'est pas possible

Finalement

\(n_d = -1+ \prod\limits_{i=1}^{m} (a_i+1)\)

J'ai eu un doute sur la formulation du problème. Sauf confusion ne faudrait-il pas donner le format de cette somme de termes consécutifs ?

Une explication un peu débarrassée d'algèbre, inspirée de l'usage très ancien des nombres figurés : le rôle déterminant des nombres impairs.

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