Somme d'entiers consécutifs
Citation de Yves Farcy le 31 janvier 2021, 10 h 47 minEn m'égarant, au début de mes recherches, j'ai finalement résolu un autre problème : est-il possible d'écrire 2021 comme une somme d'entiers naturels consécutifs ? Si oui quelle est ou quelles sont ces sommes ? C'est plus orienté vers le lycée mais, en tous cas, les aventures commencent...
En m'égarant, au début de mes recherches, j'ai finalement résolu un autre problème : est-il possible d'écrire 2021 comme une somme d'entiers naturels consécutifs ? Si oui quelle est ou quelles sont ces sommes ? C'est plus orienté vers le lycée mais, en tous cas, les aventures commencent...
Citation de Bruno ALAPLANTIVE le 1 février 2021, 17 h 37 minfaire calculer une somme de ce type sur tableur
A1 =1 B1 =(-1)^alea.entre.bornes(0;1)*A1
tirer vers le bas jusqu'à 100
puis demander somme(B1:B100)
quelques F9 successifs pour constater que le résultat semble toujours pair ...
Alors pour expliquer : 1+2+3+...+100=100x101/2=5050 ; c'est pair
et à chaque fois que l'on va vouloir mettre un - à la place d'un +
il faudra retirer deux fois cette valeur par rapport à 5050
hors pair - pair = pair & ite missa est
Je m'attaque à l'occasion au même problème qui s'arrête à +98
faire calculer une somme de ce type sur tableur
A1 =1 B1 =(-1)^alea.entre.bornes(0;1)*A1
tirer vers le bas jusqu'à 100
puis demander somme(B1:B100)
quelques F9 successifs pour constater que le résultat semble toujours pair ...
Alors pour expliquer : 1+2+3+...+100=100x101/2=5050 ; c'est pair
et à chaque fois que l'on va vouloir mettre un - à la place d'un +
il faudra retirer deux fois cette valeur par rapport à 5050
hors pair - pair = pair & ite missa est
Je m'attaque à l'occasion au même problème qui s'arrête à +98
Citation de Yves Farcy le 7 février 2021, 12 h 43 minBruno, ta réponse m'a donné des idées pour un autre sujet et j'aime beaucoup l'utilisation du tableur ! Après pour être plus explicite, lorsque je parlais de somme d'entiers naturels consécutifs, je cherchais s'il existait des couples \((n,p) \in \mathbb{N}^{2} \) tels que : \( n + (n+1) + ... + (n+p) = 2021\)d'où l'orientation lycée.
Bruno, ta réponse m'a donné des idées pour un autre sujet et j'aime beaucoup l'utilisation du tableur ! Après pour être plus explicite, lorsque je parlais de somme d'entiers naturels consécutifs, je cherchais s'il existait des couples \((n,p) \in \mathbb{N}^{2} \) tels que : \( n + (n+1) + ... + (n+p) = 2021\)d'où l'orientation lycée.
Citation de Brigitte Goulard le 27 février 2021, 15 h 52 minOn peut montrer que seules les puissances non nulles de 2 ne peuvent pas s'écrire comme une somme d'entiers naturels consécutifs.
Pour un entier N qui n'est pas une puissance de 2, peut-on déterminer facilement le nombre de décomposition en somme d'entiers naturels consécutifs possible?
On peut montrer que seules les puissances non nulles de 2 ne peuvent pas s'écrire comme une somme d'entiers naturels consécutifs.
Pour un entier N qui n'est pas une puissance de 2, peut-on déterminer facilement le nombre de décomposition en somme d'entiers naturels consécutifs possible?
Citation de Yves Farcy le 7 mars 2021, 16 h 30 minAppelons \(n_d\) le nombre de décompositions.
Comme on sait que \(2N\) est le produit d'un nombre pair par un nombre impair strictement supérieur à 1, on écrit la décomposition de \(2N\) en produit de facteurs premiers en isolant les puissances de \(2\).
\(2N = 2^{\alpha}\times\prod\limits_{i=1}^{m} p_i^{a_i}\) avec \(p_i\neq 2\) pour tout \(i\)
Le nombre pair est obligatoirement de la forme \(2^{\alpha}\times m\) avec \(m \in \mathbb{N}^{*}\) sinon l’autre serait pair.
Reste à compter le nombre de façon d'écrire \(m\) à l'aide de la décomposition en produits de facteurs premiers
On peut choisir avec \(p_1\) les puissances de \(0\) à \(a_1\) soit \(a_1+1\) choix, de même jusqu'à \(p_m\) où l'on a \(a_m+1\) choix.
Mais on a compté la décomposition qui donne \(2N\) qui ne laisse que \(1\) pour le nombre impair ce qui n'est pas possible
Finalement
\(n_d = -1+ \prod\limits_{i=1}^{m} (a_i+1)\)
Appelons \(n_d\) le nombre de décompositions.
Comme on sait que \(2N\) est le produit d'un nombre pair par un nombre impair strictement supérieur à 1, on écrit la décomposition de \(2N\) en produit de facteurs premiers en isolant les puissances de \(2\).
\(2N = 2^{\alpha}\times\prod\limits_{i=1}^{m} p_i^{a_i}\) avec \(p_i\neq 2\) pour tout \(i\)
Le nombre pair est obligatoirement de la forme \(2^{\alpha}\times m\) avec \(m \in \mathbb{N}^{*}\) sinon l’autre serait pair.
Reste à compter le nombre de façon d'écrire \(m\) à l'aide de la décomposition en produits de facteurs premiers
On peut choisir avec \(p_1\) les puissances de \(0\) à \(a_1\) soit \(a_1+1\) choix, de même jusqu'à \(p_m\) où l'on a \(a_m+1\) choix.
Mais on a compté la décomposition qui donne \(2N\) qui ne laisse que \(1\) pour le nombre impair ce qui n'est pas possible
Finalement
\(n_d = -1+ \prod\limits_{i=1}^{m} (a_i+1)\)
Citation de Jean Aymes le 16 mars 2021, 8 h 39 minJ'ai eu un doute sur la formulation du problème. Sauf confusion ne faudrait-il pas donner le format de cette somme de termes consécutifs ?
J'ai eu un doute sur la formulation du problème. Sauf confusion ne faudrait-il pas donner le format de cette somme de termes consécutifs ?
Citation de Jean Aymes le 21 mars 2021, 10 h 17 minUne explication un peu débarrassée d'algèbre, inspirée de l'usage très ancien des nombres figurés : le rôle déterminant des nombres impairs.
Une explication un peu débarrassée d'algèbre, inspirée de l'usage très ancien des nombres figurés : le rôle déterminant des nombres impairs.
Fichiers téléversés :- Vous devez vous connecter pour avoir accès aux fichiers mis en ligne (uploadés).
Citation de Jean Aymes le 31 mars 2021, 9 h 38 minDeux commentaires à propos de l'effectif des sommes.
Deux commentaires à propos de l'effectif des sommes.
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