Forum Problème – Aventure n°1

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Contraintes sur les sommes partielles

Je me posais la question (que je n'ai pas eu le temps de creuser) s'il était intéressant de se demander quels nombres on peut atteindre avec \(\pm 1\pm 2\pm 3\pm\ldots\pm98\pm99\pm100\) si on impose aux sommes partielles d'être toutes positives ou alors comprises entre 0 et 100 ?

Si on impose les sommes partielles entre 0 et 100, on se rend compte rapidement que la seule somme possible est 100, sinon on sort de l'intervalle. Puis la dernière opération est forcement +100. La somme partielle des nombres de 1 à 99 est donc 0. Le signe de 99 est donc forcément - et la somme des nombres de 0 à 98 est 99.  En poursuivant ce raisonnement simple on constate que les signes des nombres entre 34 et 100 sont imposés (+ pour les nombres pairs et - pour les nombres impairs).

J'ai pu trouver une première décomposition qui répond aux contraintes :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 ‒ 11 + 12 ‒ 13 + 14 ‒ 15 +... ‒ 99 + 100 = 100

Il y en a bien sûr d'autres puisqu'en changeant par exemple un enchaînement ‒ i + (i+1) en + i ‒ (i + 1) retranche 2 à la somme finale et bien sûr en changeant un enchaînement + j ‒ (j + 1) en ‒ j + (j+1) on ajoute 2 à la somme. Ainsi la somme suivante répond également aux contraintes :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ‒ 10 + 11 + 12 + 13 ‒ 14 ‒ 15 +...‒ 99 + 100 = 100.

Bien sûr, il existe bien d'autres possibilités de "compensation" et donc bien d'autres sommes qui donnent 100.

 

 

 

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