Citation de
Yves Farcy le 21 mai 2021, 16 h 05 min
Si on impose les sommes partielles entre 0 et 100, on se rend compte rapidement que la seule somme possible est 100, sinon on sort de l'intervalle. Puis la dernière opération est forcement +100. La somme partielle des nombres de 1 à 99 est donc 0. Le signe de 99 est donc forcément - et la somme des nombres de 0 à 98 est 99. En poursuivant ce raisonnement simple on constate que les signes des nombres entre 34 et 100 sont imposés (+ pour les nombres pairs et - pour les nombres impairs).
J'ai pu trouver une première décomposition qui répond aux contraintes :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 ‒ 11 + 12 ‒ 13 + 14 ‒ 15 +... ‒ 99 + 100 = 100
Il y en a bien sûr d'autres puisqu'en changeant par exemple un enchaînement ‒ i + (i+1) en + i ‒ (i + 1) retranche 2 à la somme finale et bien sûr en changeant un enchaînement + j ‒ (j + 1) en ‒ j + (j+1) on ajoute 2 à la somme. Ainsi la somme suivante répond également aux contraintes :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ‒ 10 + 11 + 12 + 13 ‒ 14 ‒ 15 +...‒ 99 + 100 = 100.
Bien sûr, il existe bien d'autres possibilités de "compensation" et donc bien d'autres sommes qui donnent 100.
Si on impose les sommes partielles entre 0 et 100, on se rend compte rapidement que la seule somme possible est 100, sinon on sort de l'intervalle. Puis la dernière opération est forcement +100. La somme partielle des nombres de 1 à 99 est donc 0. Le signe de 99 est donc forcément - et la somme des nombres de 0 à 98 est 99. En poursuivant ce raisonnement simple on constate que les signes des nombres entre 34 et 100 sont imposés (+ pour les nombres pairs et - pour les nombres impairs).
J'ai pu trouver une première décomposition qui répond aux contraintes :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 ‒ 11 + 12 ‒ 13 + 14 ‒ 15 +... ‒ 99 + 100 = 100
Il y en a bien sûr d'autres puisqu'en changeant par exemple un enchaînement ‒ i + (i+1) en + i ‒ (i + 1) retranche 2 à la somme finale et bien sûr en changeant un enchaînement + j ‒ (j + 1) en ‒ j + (j+1) on ajoute 2 à la somme. Ainsi la somme suivante répond également aux contraintes :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ‒ 10 + 11 + 12 + 13 ‒ 14 ‒ 15 +...‒ 99 + 100 = 100.
Bien sûr, il existe bien d'autres possibilités de "compensation" et donc bien d'autres sommes qui donnent 100.
