Une variable caméléon
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Justifier le volume d’une pyramide (ou simplement d’un tétraèdre) comme tiers de la base par la hauteur constitue une difficulté depuis longtemps. Une preuve figure dans les Éléments d’Euclide (livre XII), mais sa forme empêchée vis-à-vis de l’infini, quoique non dénuée de rigueur, n’a pas clos le problème, au contraire.
Arrêtons-nous sur une preuve parmi la quantité de celles avancées au cours de siècles.
Cette explication est de Lazare Carnot dans Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal 1797. La période est celle de grandes interrogations sur le calcul différentiel et intégral, formidablement efficace depuis Newton et Leibniz, mais encore dépourvu de fondement. Cette explication est comme un témoignage de cet air du temps.
Ici cette variable 𝐻 est longueur de hauteur, nombre infini des indivisibles, dernier terme d’une suite arithmétique, objet d’une estimation asymptotique, finalement longueur de hauteur ! Que de variations de peau !
Post-scriptum
Par indivisibles, Carnot pense à ce procédé promu par Bonaventura Cavalieri, en 1635, dans son ouvrage Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Géométrie des continus par les indivisibles, exposée par une certaine nouvelle méthode)².
Deux solides, ayant même hauteur, si les sections obtenues par des plans parallèles aux bases et à égale distance de celles-ci sont toujours dans un rapport donné, alors les volumes des solides sont dans le même rapport.
Appliqué à deux tétraèdres de même base et de même hauteur, cela leur confère un même volume. Comme par ailleurs tout tétraèdre est inscrit dans un prisme pavé par celui-ci et deux autres, ayant par deux mêmes base et hauteur, le tiers de la base par la hauteur est, de la sorte, justifié.
Quelques 36 ans après Carnot, Augustin Louis Cauchy donne dans ses Résumés analytiques une explication plus familière pour nous, en voici la substance.
