Impromptu de Jean Aymes
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Voici
une découverte, du moins pour moi.
1351/780
Découverte ancienne, cependant même avec l’âge on reste étonné.
Dans son Traité de la mesure du cercle qui nous a livré le fameux 22/7, Archimède approche un cercle par des polygones réguliers circonscrits et inscrits avec pour nombre de côtés 6, 12, 24, 48, 96.
Or la construction commence avec un triangle demi-équilatéral : hauteur rayon du cercle dans un cas, hypoténuse diamètre du cercle dans l’autre.
Certes !
Cependant ces côtés de triangle ne sont pas commensurables, comment
amorcer un calcul ?
En approchant ! Ce que fait Archimède.
Pour les circonscrits le demi-triangle équilatéral a pour longueurs des côtés 306, 153 et 265 (par défaut), pour les inscrits 1560, 780 et 1351 (par excès).
Ces rapports 265/153 et 1351/780 sont des réduites de la fraction continue déterminant racine carrée de 3, la neuvième et la douzième.
Les Grecs n’ont pas écrit à ce sujet. D’où viennent ces très bonnes approximations ? Il semble qu’on ne le sait pas précisément.
Archimède, De la mesure du cercle, traduction et commentaire, François
Peyrard, 1807 ;