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La caisse à cornières

Le problème initial est issu de la brochure de l’Irem de Poitiers : Enseigner les mathématiques en sixième à partir des grandeurs: les volumes. Plus récemment, le groupe Activités de l’Irem de Rouen a reprit ce problème dans le cadre d’un dispositif innovant inspiré des Lesson Studies. On peut retrouver la synthèse de leur travaux autour de ce problème sur cette page. Pour ceux qui s’intéressent aux lessons studies, Blandine Masselin a publié récemment un ouvrage relatant et analysant ces expériences.

Pour le plaisir de chercher et de faire (un peu) de mathématiques, le problème a été ici complété.

On possède quatre cornières d’un mètre de long chacune avec laquelle je peux construire l’armature une caisse en bois parallélépipédique. Quelles sont les dimensions de la caisse de volume maximal ?

On cherche ici une résolution experte du problème.

Après une brève analyse, on conclut, dans un premier temps, que l’on doit découper de la même manière les quatre cornières en trois morceaux.

Soit \(x\), \(y\) et \(z\), les mesures (éventuellement nulles) en mètre de chacun des trois morceaux et \(V\) la mesure du volume du parallélépipède en mètre cube.

Comme \(x+y+z=1\) on a \(z=1-x-y\) avec \(0\leq x \leq 1, 0\leq y \leq 1\) et \( 0\leq z \leq 1 \) soit \(\left\{\begin{array}{ccc}0\leq x \leq 1\\0\leq y \leq 1\\0\leq x+y \leq 1\end{array}\right.\).

Le volume \(V(x,y)=xy(1-x-y)\) est une fonction de deux variables

que l’on étudie sur le triangle \(T = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 ; 0\leq x \leq 1, 0\leq y \leq 1, 0\leq x+y \leq 1\right\}\).
La fonction \(V\) est continue et \(T \) est compact,  \(V\) admet donc un maximum et un minimum sur \(T\).

De plus \(V\)  est positive et est nulle sur les bords du triangle \(T\) i.e \(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2  ; V(x,0)=V(0,y)=V(x,1-x)=0\).

\(0\) est donc le minimum de \(V\) sur \(T\)

Comme \(V\) n’est pas identiquement nulle sur \(T\) (par exemple \(V(0.1,0.1)>0\)) elle atteint donc un maximum non nul à l’intérieur de \(T\).
Ce maximum est un point critique de \(V\), on cherche donc les couples \((x,y)\) à qui annulent les dérivées partielles de premier ordre à l’intérieur de \(T\) :
\(\frac{\partial V}{\partial x}(x,y)=y(1-2x-y)\) et \(\frac{\partial V}{\partial y}(x,y)=x(1-x-2y)\)
On cherche donc les solutions du système :

\(\left\{\begin{array}{ccc}1-2x-y=0\\1-x-2y=0\end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{1}{3}\end{array}\right.\).

Le seul point crique est donc \(S(\frac{1}{3},\frac{1}{3})\) qui est donc le maximum de \(V\) sur \(T\).
La caisse de volume maximal est donc le cube de côté \(\frac{1}{3} \) de mètre. Le volume de la caisse est alors de \(\frac{1}{27} \) de mètre cube.
Ci -dessous une représentation avec Geogebra de la fonction \(V\) sur \(T\).

Yves Farcy